Zmienna losowa.html

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Dokładniej: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami wziętymi z życia mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

edytuj Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną $\xi \colon \Omega \to \mathbb{R}$ , tzn. funkcję $ξ$ spełniającą warunek

$\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F}$ dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}$ .

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X, Y, Z$ lub liter greckich $ξ,η,$ ..., odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

edytuj Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) - i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni $Ω$ o wartościach w przestrzeni $R N$ nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać $X(\omega) = \left(X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_N(\omega)\right)$ , gdzie $X_i\;$ dla $i = 1, \dots, N$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

edytuj Przykłady

Niech $Ω$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i, j) \in R^2$ , gdzie $1 \leqslant i, j \le 6$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

Niech $Ω = [0,1]$ wraz z określoną na niej miarą Lebesgue'a. Każda funkcja ciągła z $\Omega \to \mathbb R$ jest zmienną losową.

Zmienna losowa.html

Spis treści

edytuj Definicja

edytuj Uogólnienia

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też